Resolución de ecuaciones trigonométricas: Identidades, Funciones

Resolución de ecuaciones trigonométricas

Una ecuación trigonométrica es una ecuación formada por una función trigonométrica. Estas funciones incluyen el seno, el coseno, la tangente, la cotangente, la secante y la cosecante. Según el tipo de ecuación trigonométrica, pueden resolverse utilizando un diagrama CAST, la fórmula cuadrática, una de las diversas identidades trigonométricas disponibles o el círculo unitario.

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¿Cómo se utiliza un diagrama CAST para resolver ecuaciones trigonométricas?

El diagrama CAST se utiliza para resolver ecuaciones trigonométricas. Nos ayuda a recordar los signos de las funciones trigonométricas en cada cuadrante y lo que ocurre con el ángulo que hay que calcular, según la función trigonométrica utilizada.

Resolución de funciones trigonométricas Diagrama CAST StudySmarter Ilustración de un diagrama de reparto trigonométrico, Nicole Moyo - StudySmarter Originals

Todas las funciones trigonométricas son positivas en el primer cuadrante.
Sólo el seno es positivo en el segundo cuadrante.
Sólo la tangente es positiva en el tercer cuadrante.
Sólo el coseno es positivo en el cuarto cuadrante.

Cuando utilices el diagrama CAST, primero aislarás la función trigonométrica, calcularás su ángulo agudo y luego utilizarás el diagrama para resolver las soluciones. Puedes utilizar este método para resolver ecuaciones trigonométricas lineales, ecuaciones trigonométricas en las que intervenga una única función, y utilizar tu calculadora.

$4 \sin x ° + 3 = 0 0 \leq x \leq 360 °$

Paso 1: Reordena la ecuación para que la función trigonométrica esté sola.

$4 \sin x ° + 3 = 0 \sin x ° = - \frac{3}{4}$

Paso2: Calcula el valor de tu ángulo agudo utilizando la inversa de tu función trigonométrica. Ten en cuenta que el negativo siempre se ignorará al calcular el ángulo agudo.

$\sin x ° = - \frac{3}{4} x ° = \sin^{- 1} (- \frac{3}{4}) x ° = - 48.59 °$

Paso3 : Basándote en el signo de la función, determina los cuadrantes de las soluciones y utiliza la información obtenida para resolver la ecuación.

En nuestro ejemplo, el seno es negativo. Por tanto, nuestras soluciones están en los cuadrantes 3º (180 ° + x °) y 4º (360 ° -x °).

$3 r d q u a d r a t n t : x ° = 180 ° + 48.59 ° = 228.59 ° 4 t h q u a d r a n t : x ° = 360 ° - 48.59 ° = 311.41 °$

¿Qué es el círculo unitario en trigonometría?

Un círculo unitario es un círculo que tiene un radio de 1 y se utiliza para ilustrar determinados ángulos comunes.

Resolución de ecuaciones trigonométricas Unidad Círculo Estudio Smarter Círculo unitario. Imagen: Jim Belk, Dominio público

¿Cómo se resuelven las ecuaciones trigonométricas cuadráticas?

Las ecuaciones trigonométricas cuadráticas son ecuaciones trigonométricas de segundo grado. Se pueden resolver utilizando la fórmula cuadrática: $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

$2 \sin^{2} a + 3 \sin a - 1 = 0$

Paso 1: Sustituye la función trigonométrica por una variable de tu elección.

En nuestro ejemplo, diremos que sen (a) = x

$2 x^{2} + 3 x - 1 = 0$

Paso2: Utiliza la fórmula cuadrática para resolver tu variable.

$a = 2 b = 3 c = - 1 x = \frac{- (3) \pm \sqrt{3^{2} - 4 (2) (- 1)}}{2 (2)} = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Paso 3 : Vuelve a sustituir tu variable por la función y toma la inversa de la función para resolver la ecuación +. ( $\pm, m e a n s t h e r e a r e 2 s o l u t i o n s$ )

$\sin^{- 1} (\frac{- 3 + \sqrt{17}}{4}) = 18.11 ° x = \sin (18.11) = 0.28$

Paso 4 : Utiliza el círculo unitario para determinar la solución de la ecuación - ya que el dominio de la función inversa es $[- 1, 1]$ .

Debido a que el seno es positivo en el primer y segundo cuadrante, la segunda solución sería:

$x = π - 0.28 = 2.86$

¿Cómo utilizamos las identidades para resolver ecuaciones trigonométricas?

Las identidades se utilizan para resolver funciones trigonométricas simplificando la ecuación y resolviéndola a continuación, principalmente utilizando el círculo unitario.

Aquí tienes algunas fórmulas trigonométricas importantes que debes conocer:

$\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1 \cos x \cos y + \sin x \sin y = \cos (x - y) \tan^{2} x + 1 = s e c^{2} x \cos 2 x = \cos^{2} x - \sin^{2} x = 2 \cos^{2} x - 1 = 1 - 2 \sin^{2} x \sin 2 x = 2 \sin x \cos x \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$

$\cos x \cos (2 x) + \sin x \sin (2 x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 1: Simplifica tu ecuación con una identidad conocida.

En este ejemplo, es la fórmula de la diferencia del coseno: $\cos a \cos b + \sin a \sin b = \cos (a - b)$

$\cos x \cos (2 x) + \sin x \sin (2 x) = \frac{\sqrt{3}}{2} c os (x - 2 x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (- x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, i n t h i s p a r t w e u s e d t h e n e g a t i v e a n g l e t r i g i d e n t i t y : \cos (- x) = \cos (x)$

Paso2: Utiliza el círculo unitario para determinar los valores de tu ángulo (x).

En nuestro ejemplo, nos centraremos en los cuadrantes 4º y 1º, ya que el coseno es positivo en esos cuadrantes.

Por tanto, $x = \frac{π}{6} a n d x = \frac{11 π}{6}$

¿Cómo se resuelven las ecuaciones trigonométricas con ángulos múltiples?

Las ecuaciones trigonométricas con múltiples ángulos se resuelven reescribiendo primero la ecuación como inversa, determinando qué ángulos satisfacen la ecuación y dividiendo después estos ángulos por el número de ángulos. Al resolverlas, lo más probable es que tengas más de dos soluciones, ya que cuando tengas una función de esta forma: cos (nx) = c, tendrás que dar la vuelta al círculo n veces.

Las ecuaciones trigonométricas con múltiples ángulos tienen este aspecto: $\sin 2 x, \tan \frac{x}{2}, \cos 3 x, e t c$ Todas las variables tienen coeficientes.

$\cos (2 x) = \frac{1}{2} o n [0, 2 π)$

Paso 1: Determina los cuadrantes de tus soluciones iniciales y los ángulos posibles utilizando el círculo unitario.

$\cos^{_1} (\frac{1}{2}) = 60 ° ∴ p o s s i b l e a n g l e s a r e 2 x = \frac{π}{3} a n d 2 x = \frac{5 π}{3}$

Paso 2: Calcula el valor de tus soluciones iniciales dividiendo el ángulo posible por el número de ángulos.

$2 x = \frac{π}{3} x = \frac{π}{6} 2 x = \frac{5 π}{3} x = \frac{5 π}{6}$

Paso3: Determina tus otras soluciones girando alrededor del círculo por el número de ángulos y seleccionando sólo las respuestas dentro de tu rango.

$F i r s t q u a d r a n t 2 x = \frac{π}{3} First rotation : 2 x = \frac{π}{3} + 2 π = \frac{7 π}{3} x = \frac{7 π}{6} This value is between 0 and 2 π and is therefore a solution Second Rotation : 2 x = \frac{π}{3} + 4 π = \frac{13 π}{3} x = \frac{13 π}{6} This value is greater than 2 π and is therefore not a solution . Fourth q u a d r a n t : 2 x = \frac{5 π}{3} F i r s t R o t a t i o n : 2 x = \frac{5 π}{3} + 2 π = \frac{11 π}{3} x = \frac{11 π}{6} This value is between the range and is therefore a solution . Second Rotation : 2 x = \frac{5 π}{3} + 4 π 2 x = \frac{17 π}{3} x = \frac{17 π}{6} This value is not within your range and thefore cant be a solution .$

Resolución de ecuaciones trigonométricas - Puntos clave

Cuando utilices el diagrama CAST, primero aislarás la función trigonométrica, calcularás tu ángulo agudo y luego utilizarás el diagrama para resolver las soluciones.
Un círculo unitario es un círculo que tiene un radio de 1 y se utiliza para ilustrar determinados ángulos comunes.
Las ecuaciones trigonométricas cuadráticas pueden resolverse con la fórmula cuadrática: $x = \frac{- b \pm \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
Las identidades se utilizan para resolver funciones trigonométricas simplificando la ecuación y resolviendo después utilizando el círculo unitario.
Al resolver funciones trigonométricas con múltiples ángulos, lo más probable es que tengas más de dos soluciones, ya que cuando tengas una función de esta forma: cos (nx) = c, tendrás que dar la vuelta al círculo n veces.

Preguntas frecuentes sobre Resolución de ecuaciones trigonométricas

¿Qué son las ecuaciones trigonométricas?

Las ecuaciones trigonométricas son ecuaciones que involucran funciones trigonométricas como seno, coseno y tangente.

¿Cómo se resuelven las ecuaciones trigonométricas?

Se resuelven aislando la función trigonométrica y utilizando identidades trigonométricas y ángulos de referencia.

¿Cuáles son las principales identidades trigonométricas usadas?

Son la identidad de Pitágoras, las identidades de ángulos doble y mitad, y las sumas y diferencias de ángulos.

¿Para qué se usan las ecuaciones trigonométricas?

Se usan para resolver problemas en física, ingeniería, y cualquier campo que involucre relaciones angulares y de longitud.

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Resolución de ecuaciones trigonométricas

¿Cómo se utiliza un diagrama CAST para resolver ecuaciones trigonométricas?

¿Qué es el círculo unitario en trigonometría?

¿Cómo se resuelven las ecuaciones trigonométricas cuadráticas?

¿Cómo utilizamos las identidades para resolver ecuaciones trigonométricas?

¿Cómo se resuelven las ecuaciones trigonométricas con ángulos múltiples?

Resolución de ecuaciones trigonométricas - Puntos clave

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