Métodos Numéricos

Integración numérica

Algunas Funciones no son integrables, lo que significa que no existe una antiderivada para esa función. Sin embargo, esto no significa que no podamos aproximar el área bajo estas Funciones (es decir, encontrar una solución aproximada para una integral definida). Para ello, dividimos el área bajo la integral en áreas más pequeñas (o formas que se parezcan mucho al área de la integral), hallamos el área de cada una de estas áreas y las sumamos para obtener una aproximación.

En el nivel A, nos centramos en el método trapezoidal. En él dividimos el área en una serie de trapecios y luego los sumamos. A continuación se muestra un esquema de cómo se hace.

Método trapezoidal de integración numérica

Cuantos más trapecios añadamos, más precisa será la aproximación.

Formalicemos esto para obtener una fórmula. Supongamos que tenemos una función , y queremos aproximar la integral de , con n intervalos igualmente espaciados. Esto significa que necesitamos n + 1 puntos de datos. Sea , y entonces

para . A continuación, hallamos los valores de estos puntos de datos evaluados en la función, con lo que tenemos .

Para cualquier trapecio, el área viene dada como (anchura) * (altura media de los lados de longitud desigual). En este caso, nuestra anchura es . La altura media del trapecio i es . Esto significa que el área del trapecio i es . Sumando todo ello, obtenemos la fórmula de . Como cada se cuenta dos veces aparte de los dos puntos extremos, podemos simplificarlo a .

Búsqueda de raíces

No todas las ecuaciones pueden resolverse con métodos algebraicos. Aquí es donde entra en juego el uso de métodos numéricos para encontrar raíces. No todos los métodos funcionan en todos los casos, por lo que a veces tenemos que ser selectivos con el método que utilizamos.

Cómo localizar una raíz

Supongamos que hay una función, y pensamos que puede haber una raíz entre los puntos a y b. Si hay una sola raíz, entonces el signo de será distinto al de . Si el intervalo es demasiado grande entre a y b, puede haber varias raíces, lo que podría significar que los signos se mantuvieran iguales, incluso con varias raíces (esto ocurre si hay un número par de raíces).

Localización de una raíz mediante métodos numéricos

La imagen anterior debería permitirte comprender cómo el cambio de signo indica una raíz.

Iteración

La iteración es el proceso de repetir una función matemática, utilizando la respuesta anterior como siguiente entrada. Por ejemplo, una función iterativa podría ser tan sencilla como . En esta ecuación, empezaríamos con un dado y lo utilizaríamos para hallar . Luego podemos continuar este proceso para encontrar tantos como necesitemos. Este proceso puede permitirnos encontrar raíces de Ecuaciones siempre que esté lo suficientemente cerca de la raíz real.

El método Newton-Raphson

Este método se puede derivar utilizando matemáticas que no verás en el Bachillerato (una expansión de Taylor), pero se trata de un tipo de fórmula iterativa para encontrar una raíz. Supongamos que tenemos una función , que es diferenciable. La iteración Newton-Raphson viene dada por , con , y un valor inicial adecuado .