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Funciones
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Las funciones compuestas son operaciones que toman dos o más funciones como una sola función, como h(x) = g(x). Esto tiene que ver principalmente con tomar números de un conjunto a otro conjunto.
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Equipo de profesores de Funciones compuestas
Así, por ejemplo, si una función tomara un número del conjunto A al B y otra función tomara un número del conjunto B al C, la compuesta tomaría un número del conjunto A directamente al C.
Aquí tienes un diagrama que muestra cómo las funciones f(x) y g(x) pueden transformar una entrada en una salida.
Una imagen que ilustra las funciones compuestas
Los valores de los conjuntos se pueden asignar a otros conjuntos mediante funciones compuestas.
Hay propiedades importantes de las funciones compuestas que debemos recordar:
| Nombre de la propiedad | Definición |
| Asociativa | Si las funciones son componibles, siempre son asociativas. Esto significa que no importa dónde estén situados los paréntesis en una función, no hay diferencia en el resultado global de la función. Por tanto, si f, g, h son componibles, entonces \(f(gh(x)) = (fg)h(x)\). |
| Conmutativo | Si las funciones son componibles significa que no son necesariamente conmutativas. La conmutatividad se da cuando intercambiar el orden de composición de la función, no la afecta, por ejemplo (ab=ba). |
| Uno a uno | Una función compuesta uno a uno es aquella en la que hay una única salida por cada entrada. También existe una función muchos-a-uno, en la que muchas entradas pueden dar la misma salida. En la definición de una función, ninguna función compuesta puede ser de uno a muchos. |
| Inversa | En una función compuesta debe existir una inversa, por lo que no puede haber una salida para la que no exista una entrada. |
Esencialmente, estamos realizando una función de una función. Digamos que intentamos hallar \(h(x) = fg(x)\).
Primero tomaríamos g(x) (la salida de x) y luego la utilizaríamos como entrada en f(x), obteniendo así fg(x). Veamos un ejemplo práctico.
\(f(x) = 3x + 2\) y \(g(x) = 5x -1\). Si \(h(x) = fg(x)\), halla el valor de h(2).
Pasos | Ejemplo |
Paso 1: Reescribe h (x). | \(h(2) = fg(2)\) |
Paso 2: Halla primero la salida de la función interior. | \(g(2) = 5(2) - 1 = 9\) |
Paso 3: Sustituye esta salida recién hallada como entrada en la función exterior. | \(f(9) = 3(9) + 2 = 29\) |
| RESPUESTA FINAL | \(h(2) = 29\) |
Pasos | Ejemplo |
Paso 1: Reescribe h (x). | \(h(x) = fg(x)\) |
Paso 2: Encuentra primero la salida de la función interior. | \(g(x) = 5x -1\) |
Paso 3: Sustituye esta salida recién hallada como entrada en la función exterior. | \(f(5x-1) = 3(5x-1) +2 = 15x - 3 + 2 = 15x -1\) |
| RESPUESTA FINAL | \(h(x) = 15x -1\) |
\(f(x) = 3x +2\). Halla \(f^2(x)\).
Pasos | Ejemplo |
Paso 1: reescribe \(f^2(x)\). | \(f^2(x) = ff(x)\) |
Paso 2: Encuentra primero la salida de la función interior. | \(f(x) = 3x +2\) |
Paso 3: Sustituye esta salida recién hallada como entrada en la función exterior. | \(f(3x +2) = 3(3x+2) + 2 = 9x + 6 + 2 = 9x+8\) |
| RESPUESTA FINAL | \(f^2(x) = 9x+8\) |
A veces pueden entrar en juego funciones cuadráticas, trigonométricas y recíprocas, pero la lógica es exactamente la misma que con los ejemplos lineales más fáciles que hemos visto antes. Veamos algunos ejemplos más trabajados.
\(f(x) = \cos(x), \espacio g(x) = 3x -2. \espacio h(x) = gf(x)\). Halla el valor de h(90).
pasos | Ejemplo |
Paso 1: Reescribe h (x). | \(h(90) = gf(90)\) |
Paso 2: Halla primero la salida de la función interior. | \(f(90) = \cos(90) = 0\) |
Paso 3: Sustituye esta salida recién hallada como entrada en la función exterior. | \(g(0) = 3(0) - 2 = 0-2 = -2\) |
| RESPUESTA FINAL | \(g(0) = -2\) |
\(f(x) = \tan^{-1}(x)\), con \(0 \leq tan^{-1}(x) \leq 2 \pi\ ), \(g(x) = x^2 + 6x -8\). \(h(x) = gf(x)\). Halla el valor de h(1).
pasos | Ejemplo |
Paso 1: Reescribe h (x). | \(h(1) = gf(1)\) |
Paso 2: Halla primero la salida de la función interior. | \(\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}\) |
Paso 3: Sustituye el resultado obtenido por la entrada de la función externa. | \(\frac{\pi}{4} \big)^2 + 6 \big( \frac{\pi}{4} \big) - 8 = -2,67076074455\) |
| RESPUESTA FINAL | \(h(1) = -2.67076074455\) |
\(f(x) = \tan^{-1}(x), \espacio g(x) = 3-x^2. \espacio h(x) = gf^{-1}(x)\). Halla \(h(x)\)
pasos | Ejemplo |
Paso 1: Reescribe h (x). | \(h(x) = gf^{-1}(x)\) |
Paso 2: Encuentra primero la salida de la función interior. | \(f^{-1}(x) = \tan(x)\) |
Paso 3: Sustituye esta salida recién hallada como entrada en la función exterior. | \(g(\tan(x)) = 2 -\tan^2(x)\) |
| RESPUESTA FINAL | \(h(x) = 3 - \tan^2(x)\) |
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Lily Hulatt es una especialista en contenido digital con más de tres años de experiencia en estrategia de contenido y diseño curricular. Obtuvo su doctorado en Literatura Inglesa en la Universidad de Durham en 2022, enseñó en el Departamento de Estudios Ingleses de la Universidad de Durham y ha contribuido a varias publicaciones. Lily se especializa en Literatura Inglesa, Lengua Inglesa, Historia y Filosofía.
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Gabriel Freitas es un ingeniero en inteligencia artificial con una sólida experiencia en desarrollo de software, algoritmos de aprendizaje automático e IA generativa, incluidas aplicaciones de grandes modelos de lenguaje (LLM). Graduado en Ingeniería Eléctrica de la Universidad de São Paulo, actualmente cursa una maestría en Ingeniería Informática en la Universidad de Campinas, especializándose en temas de aprendizaje automático. Gabriel tiene una sólida formación en ingeniería de software y ha trabajado en proyectos que involucran visión por computadora, IA integrada y aplicaciones LLM.
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