Funciones Exponenciales

¿Para qué se utilizan las funciones exponenciales?

Las funciones exponenciales pueden utilizarse para modelizar cosas que no toman valores negativos y que crecen o decaen muy rápidamente. Las verás a menudo cuando observes cosas como el número de bacterias en un cultivo, o en inversiones que ganan interés compuesto. Estos son ejemplos de crecimiento exponencial. También puedes encontrar ejemplos en los que se utilizan funciones exponenciales para modelizar la desintegración de isótopos radiactivos. Son ejemplos de descomposición exponencial.

Ejemplo de función exponencial en la vida real

Veamos una situación habitual de la vida real que podemos encontrar y que puede modelizarse utilizando funciones exponenciales.

Uno de los usos más comunes de las funciones exponenciales es el estudio de poblaciones que crecen muy rápidamente. Supongamos que empiezas con 10 moscas y cada semana tienes el doble de moscas. ¿Cuántas moscas tendrás en 3 meses?

Responde:

Nombra la función para contar moscas . La población inicial de moscas es de 10, así que .

Después de 1 semana tienes el doble de moscas, por lo que

Al cabo de 2 semanas la población se ha duplicado de nuevo, por lo que

Al cabo de 3 semanas la población vuelve a duplicarse, por lo que

Ahora puedes ver la tendencia general y obtener la fórmula

¿En 3 meses cuántas moscas hay? Observa que x se mide en semanas, así que primero convierte 3 meses en 12 semanas. Entonces

Así que en sólo 3 meses, ¡tienes más de cuarenta mil moscas!

¿Qué es una función exponencial?

Una función exponencial es una función que tiene la forma

donde y son constantes, , y x es un número real. En lugar de empezar por la forma más general, veamos primero la forma más sencilla (que es el caso en el que ) para hacernos una idea mejor de cómo se comportan las funciones exponenciales.

¿Cuáles son las características de una función exponencial?

Las características fundamentales de una función exponencial básica son:

• tienen la forma donde es una constante
• están definidas para cualquier número real , por lo que el dominio es
• sólo toman valores positivos, por lo que el rango es
• cuando , la función aumenta (tiene crecimiento exponencial)
• cuando , la función disminuye (tiene decaimiento exponencial)
• la gráfica siempre es cóncava hacia arriba
• la intersección y es
• no hay intersección x
• la recta es una asíntota horizontal

¿Cuál es la ecuación general de una función exponencial?

La función exponencial puede escribirse de forma más general.

Las constantes B, k y C toman la gráfica de la función exponencial básica y las desplazan, voltean o estiran.

• C mueve la gráfica hacia arriba o hacia abajo, lo que cambia la posición de la asíntota horizontal y la posición de la intersección y
• B voltea la gráfica sobre el eje x (si ), lo que hace que la gráfica sea cóncava hacia abajo, y también afectará a la posición de la intersección y. Hace que la gráfica aumente/disminuya más rápidamente () o menos rápidamente ().
• k cambia la velocidad de crecimiento exponencial o de decaimiento exponencial. Hace que la gráfica aumente/disminuya más rápidamente () o menos rápidamente (). Si , entonces se invierte sobre el eje y.
• la asíntota horizontal es la ecuación
• la intersección y está en
• el dominio es
• el intervalo depende tanto de B como de C. Si (cóncavo hacia arriba), entonces el intervalo es . Si (cóncavo hacia abajo), entonces el intervalo es .

Hay 8 combinaciones posibles de signos para y que te indican si una función exponencial va a ser creciente o decreciente, así como cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo.

Haz la gráfica de la función , asegurándote de encontrar todos los puntos importantes y la asíntota horizontal.

Contesta:

1. Primero halla la intersección y introduciendo .

Observa que la función exponencial básica tiene la intersección y en , y esta función la tiene en . También puedes hallar la intersección y utilizando la fórmula .

2. Como toda la gráfica está desplazada hacia abajo en 3, eso significa que la asíntota horizontal también está desplazada hacia abajo en 3. Por tanto, la ecuación de la asíntota horizontal es .

3. El valor de B es 5, lo que no volcará la gráfica sobre el eje x porque .

4. El valor de k es -4. Eso volteará la gráfica sobre el eje y porque .

5. A continuación puedes hacer una tabla de valores para la función.

x	f(x)
-2	1277
-1	77
0	-2
1	-2.69

Observa que los valores cuando x es negativa ¡son bastante grandes! Así que si intentas hacer la gráfica con una ventana gráfica estándar de una calculadora, probablemente no te dará una idea muy buena del aspecto de la gráfica. En lugar de eso, grafícala para . Entonces la gráfica tendrá este aspecto:Fig. 3: Gráfica final de la función.

Identificar una función exponencial a partir de una gráfica

¿Puedes saber si algo es una función exponencial con sólo mirar una gráfica? La respuesta corta es que en realidad no. Como el dominio de una función exponencial son todos los números reales, y como es imposible hacer una gráfica de tamaño infinito, no puedes estar absolutamente seguro de que una gráfica sea realmente una gráfica exponencial. Sin embargo, puedes observar una gráfica con algunos puntos marcados en ella y decidir si podría ser exponencial o si definitivamente no lo es.

Formas de mirar una gráfica y saber si no es una función exponencial:

• Si no tiene una asíntota horizontal, no es una función exponencial.
• Si cambia de concavidad (a veces es cóncava hacia arriba y a veces cóncava hacia abajo) no es una función exponencial
• Si el dominio no incluye todos los números reales, no es una función exponencial
• Si no es siempre decreciente o siempre creciente, no es una función exponencial.