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La integración directa de funciones es muy fácil: solo debes encontrar una primitiva en una tabla. Por ejemplo, integrar las función \(\sin(x)\) es sencillo, ya que se tiene una fórmula directa; lo mismo para funciones sencillas como \(1/x^n\) o polinomios. Pero, ¿qué pasa cuando se tiene algo como \(f(x)=e^x\cos(x)\)? Podrías buscarlo en tus tablas y no encontrarás ninguna fórmula directa. Esto se debe a que es una función más compleja y requiere un método de integración.
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Regístrate gratisUna característica importante de las funciones trigonométricas cuando se integra es que esta son:
La recurrencia de las integrales de funciones trigonométricas es útil cuando se usa la integración:
La integración por partes consiste en:
La integración por sustitución consiste en:
Cuando se tiene una función del tipo \(\frac{f(x)}{g(x)}\), ambas funciones son polinomios y se desea integrar, se debe de:
¿Que es una primitiva?
Una característica importante de las funciones trigonométricas cuando se integra es que esta son:
La recurrencia de las integrales de funciones trigonométricas es útil cuando se usa la integración:
La integración por partes consiste en:
La integración por sustitución consiste en:
Cuando se tiene una función del tipo \(\frac{f(x)}{g(x)}\), ambas funciones son polinomios y se desea integrar, se debe de:
¿Que es una primitiva?
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Equipo de profesores de Métodos de integración
La primitiva de una función es la antiderivada: la función que se obtiene cuando se hace la operación contraria a la derivada, que es la integración.
Una primitiva se encuentra usando tablas. Por ejemplo, las primitivas de las dos funciones trigonométricas básicas son:
\[\int \sin(x)dx=\cos(x)\]
\[\int \cos(x)dx=-\sin(x)\]
Pero, ¿qué pasa con la función \(\tan(x)\)? Esta también tiene una fórmula, pero no es una función básica; sino que está formada por el cociente de dos funciones, que son \(\sin\) y \(\cos\):
\[\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\]
En este caso, podemos hacer algo interesante:
Sabemos que la función \(-\sin(x)\) es la primitiva de \(\cos(x)\); en este caso, si \(\cos(x)\) es la función, su derivada es \(-\sin(x)\). Por tanto, podemos hacer un cambio de variable para simplificar todo esto, haciendo que \(\cos(x)=u\).
Ahora, nuestra variable es \(u\); entonces buscamos su diferencial derivando en ambos lados de la ecuación anterior, lo que queda como: \(-\sin(x)dx=du\Rightarrow dx=\dfrac{du}{-\sin(x)}\).
Ahora tenemos:
\[\int \tan(x)dx=\int \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}dx=\int \dfrac{\sin(x)}{u}\dfrac{du}{-\sin(x)}\]
Simplificando, esto es:
\[-\int \dfrac{du}{u}\]
Y esta integral es:
\[-\int \dfrac{du}{u}=-\ln|u|+c|\]
Si regresamos al valor original de \(u\), tenemos:
\[\int \tan(x)dx=\int \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}dx=-\ln|\cos(x)|+c\]
Este resultado existe como una fórmula, pero el método que aplicamos usando primitivas y cambiando una variable se conoce como método por sustitución o cambio de variable.
El método anterior, junto con otros métodos, es una parte integral de los métodos de integración que te permitirán integrar funciones más complejas. Estos métodos son:
Integración por cambio de variable
Integración de funciones trigonométricas
A continuación, veremos un poco más sobre estos métodos.
El primer método de integración que veremos es conocido como cambio de variable. Este método de integración te permite convertir una expresión más compleja en una variable más sencilla.
Hagamos una lista rápida:
Si \( u=\cos(x)\), \(du=-\sin(x)dx\)
Si \( u=\sin(x)\), \(du=\cos(x)dx\)
Si \( u=e^{nx}\), \(du=ne^{x(n-1)}dx\)
En todos estos casos, se busca hacer la función a integrar más sencilla.
Puedes ver esto, más detenidamente y con muchos ejemplos, en nuestro tema sobre Integración por cambio de variable.
Veamos de qué se trata, con un ejemplo:
Se tiene la siguiente integral:
\[\int{4e^{4x+3}dx}\]
Solución:
Podríamos hacer esta integral directa; pero, podemos hacerlo aún más sencillo usando:
\[u=(4x+3)\]
\[du=4dx\]
Despejando \(du\), tenemos:
\[dx=\dfrac{du}{4}\]
Si sustituimos esto en la función original:
\[\int 4e^{u}\dfrac{du}{4}\]
Lo que se simplifica a:
\[\int e^{u}du\]
Y esta integral es simplemente \(e^u+c\), con lo cual queda:
\[\int e^{u}du=e^u\]
Si regresamos al valor original de \(u=(4x+3)\), tenemos:
\[\int 4e^{4x+3}dx=e^{4x+3}\]
Si bien es cierto que el método parece largo, cuando puedes identificar las funciones y las sustituciones rápidamente, es una herramienta muy poderosa.
Volvamos a una función trigonométrica; en este caso, la cotangente.
Integra la función \(f(x)=\cot(x)\).
Solución:
Esto lo puedes hacer de una manera larga; pero, también podemos rápidamente ver que la cotangente es igual a:
\[\cot(x)=\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}\]
Sabemos que la derivada del \(\sin(x)\) es el \(\cos(x)dx\), así que se tiene:
\[u=\sin(x)\]
\[du=\cos(x)dx\]
\[\int \cot(x)dx=\int\dfrac{\cos(x)dx}{\sin(x)}=\int\dfrac{du}{u}\]
Y esta integral es, sencillamente:
\[\int\dfrac{du}{u}=\ln|u|+c\]
Si regresamos a la variable original \(u=\sin(x)\):
\[\int \cot(x)=\ln|\sin(x)|+c\]
Nuevamente, esto puede parecer dispendioso, pero no hay un método sencillo de saber esta integral si no tienes tablas completas de primitivas.
Cuando identificamos las variables y derivadas rápidamente, estas integrales son tan rápidas como dos líneas: la práctica te hará más rápido con estos métodos de integración.
Las funciones trigonométricas que conoces —como seno, coseno y tangente— tienen también integrales directas; además, estas tienen propiedades interesantes al integrarse que veremos a continuación.
Primero, las integrales directas de las funciones trigonométricas son las siguientes:
En el caso de que el argumento \(x\) sea multiplicado por una constante como en \(\cos(2x)\), las integrales de estas son:
Una propiedad importante de estas integrales —que es usada ampliamente en métodos de integración como el método de sustitución o el método de integración por partes— es que estas son cíclicas o recurrentes.
Al decir cíclicas nos referimos a que las integrales de la función seno y coseno son la integral de la otra función.
Hagamos un ejemplo de esto:
Integra la función \(f(x)=\sin(x)\) dos veces.
Solución:
Primero, la integramos una vez:
\[\int\sin(x)dx=\cos(x)+c\]
Si integramos nuevamente el coseno, sin tomar en cuenta la constante resultante, tenemos:
\[\int-\cos(x)dx=-\int\cos(x)=-\sin(x)+c\]
Efectivamente, la segunda integral de la función seno es la misma función pero con diferente signo:
\[\int f(x) \rightarrow \int g(x) \rightarrow -\int f(x)\]
Esta recurrencia también es explotada al hacer cambios de variable, como ya mencionamos, en los que:
\[u=\sin(x)\]
\[du=\cos(x)\]
Lo cual lleva a integrales del tipo:
\[\int a\sin(x)\cos(x)dx\]
a ser expresadas como:
\[\int a u\,du \]
La recurrencia de estas integrales, además de su relación con las funciones exponenciales, es muy poderosa para resolver problemas más complejos en otros cursos más avanzados.
Si quieres saber más acerca de la relación entre la exponencial y las funciones trigonométricas no olvides leer nuestro artículo sobre Integrales de funciones exponenciales.
Otro tipo de integral que encontrarás muy a menudo son las integrales de funciones racionales. Estas integrales son el resultado de tener dos funciones dividiendo; esto se define como:
\[\int \dfrac{f(x)}{g(x)}dx\]
Hay varios métodos importantes para poder descomponer estas integrales en otras más sencillas; pero, de momento, nos centraremos en lo siguiente:
Tanto \(g(x)\) como \(f(x)\) deben ser polinomios.
El grado de \(g(x)\) debe ser menor o igual que el grado de \(f(x)\). Por ejemplo:
\[\dfrac{x^2+3x-2}{x-1}\]
Se procede a hacer una división larga o factorización para reducir la expresión a una forma más sencilla, para obtener una forma del tipo:
\[\dfrac{A}{x+a}+\dfrac{B}{x+b}\]
Esta forma puede variar y tener más términos; pero, en general, se busca reducir la expresión para que las integrales resultantes sean fáciles de calcular. El método se conoce comúnmente como método de fracciones parciales.
El método de fracciones parciales se basa en la idea de que dos funciones son equivalentes si la segunda es una factorización de la primera. De este modo, si ambas expresiones son iguales, como:
\[F(f(x))\rightarrow g(x)+h(x)+i(x)...\]
entonces las integrales deben dar el mismo resultado:
\[\int f(x)=\int g(x)+\int h(x)+\int i(x)...\]
Un método que es muy útil para integrar funciones complejas es la integración por partes. Este método tiene una fórmula bien definida, que es:
\[\int u\,dv=uv-\int v\,du\]
En este caso, \(u\) y \(v\) son funciones de \(x\) o \(f(x)\) y \(g(x)\).
Este método es muy útil cuando se tienen funciones cíclicas, como \(e^x\), y las funciones trigonométricas \(\sin(x)\) y \(\cos(x)\).
Puedes ver más ejemplos y una explicación más detallada en nuestro artículo de Integración por partes.
Hagamos un ejercicio sencillo:
Se tiene la función \(xe^x\). Encuentra la integral de la función.
Solución:
En primer lugar, lo que se debe hacer es identificar cuál función se debe reducir y cual es cíclica.
En este caso la función que debemos reducir es \(x\). Así que elegimos, para que esta sea \(u\) y para que en la siguiente integral sea \(du=dx\).
Si hacemos esto, tenemos:
\[u=x\Rightarrow du=dx\]
\[dv=e^x\Rightarrow v=e^x\]
Si sustituimos en la fórmula:
\[\int xe^x dx=xe^x-\int e^xdx\]
Aquí, esta última integral es directa, por lo que:
\[\int xe^xdx=xe^x-\int e^xdx=xe^x-e^x=e^x(x-1)\]
Es cierto que el ejemplo es un poco largo, pero es muy importante que lo tengas en cuenta, ya que es muy útil. También hay funciones cíclicas del tipo \(e^x(\cos(x))\) que pueden ser resueltas fácilmente con este método.
Veamos tres ejemplos sencillos usando los métodos de integración que aprendiste.
Se tiene la función \(\dfrac{\cos(x)}{\sin^2(x)}\). ¡Integrémosla por cambio de variable!
Solución:
En primer lugar ,debemos saber que la función \(\cos(x)\) es la derivada de la función \(\sin(x)\); así que podemos hacer:
\[u=\sin(x)\Rightarrow du=\cos(x)dx\]
Ahora tenemos:
\[\int \dfrac{\cos(x)}{\sin^2(x)}dx=\int\dfrac{du}{u^2}\]
Esta integral es igual a:
\[\int u^{-2}du\]
Integrando esto, obtenemos:
\[\int u^{-2}du=\dfrac{-1}{u}+c\]
Si regresamos a nuestra expresión original, llegamos a:
\[\int \dfrac{\cos(x)}{\sin^2(x)}dx=\dfrac{-1}{\sin(x)}+c\]
Usa el método de integración por partes para resolver la integral cíclica: \(\int e^x\sin(x)dx\).
Solución:
Aquí debemos tener en cuenta que, al derivar e integrar \(\sin(x)\) varias veces, regresamos a la función \(\sin(x)\).
Primero hacemos:
\[u=\sin(x)\Rightarrow du=\cos(x)dx\]
\[dv=e^x\Rightarrow v=e^x\]
Así que podemos usar:
\[\int udv = vu - \int vdu\]
Sustituyendo por los valores que acabamos de calcular:
\[\int \sin(x)e^xdx = e^x\sin(x) - \int e^x \cos(x)dx\]
Podemos hacer la última integral por partes:
\[u=\cos(x)\Rightarrow du=-\sin(x)dx\]
\[dv=e^x\Rightarrow v=e^x\]
Con lo cual tenemos:
\[\int \sin(x)e^xdx = e^x\sin(x) - \int e^x \cos(x)dx=e^x\sin(x)-e^x\cos(x)-\int e^x \sin(x)dx \]
Si observas bien, esta última integral es la misma con la cual iniciamos; así que, si sustituimos todo:
\[\int \sin(x)e^x dx= e^x\sin(x) -e^x\cos(x)-\int e^x\sin(x) dx\]
Pasamos la última integral al lado izquierdo de la igualdad:
\[2\int \sin(x)e^xdx = e^x\sin(x) -e^x\cos(x)\]
Pasamos el \(2\) dividiendo al otro lado de la igualdad, por lo que la integral es igual a:
\[\int \sin(x)e^xdx= \dfrac{e^x\sin(x) -e^x\cos(x)}{2}\]
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¿Cómo obtener la primitiva de una función?
Para encontrar la primitiva de una función solo debes buscar en una tabla o aplicar un método de integración.
¿Cuáles son los 4 métodos de integración?
Los cuatro métodos de integración más comunes son:
¿Qué es el método de integración por partes?
La integración por partes es útil cuando intentas reducir una función en un producto del tipo f(x) por g(x) o cuando se tienen funciones cíclicas como excos(x). La fórmula de integración por partes es:
∫udv=uv-∫vdu
Donde u y v son funciones de x.
¿Cómo se integra por sustitución?
Para integrar por sustitución tienes que:
¿Cómo resolver ejercicios de cambio de variable?
Para integrar por cambio de variable tienes que:
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Lily Hulatt es una especialista en contenido digital con más de tres años de experiencia en estrategia de contenido y diseño curricular. Obtuvo su doctorado en Literatura Inglesa en la Universidad de Durham en 2022, enseñó en el Departamento de Estudios Ingleses de la Universidad de Durham y ha contribuido a varias publicaciones. Lily se especializa en Literatura Inglesa, Lengua Inglesa, Historia y Filosofía.
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Gabriel Freitas es un ingeniero en inteligencia artificial con una sólida experiencia en desarrollo de software, algoritmos de aprendizaje automático e IA generativa, incluidas aplicaciones de grandes modelos de lenguaje (LLM). Graduado en Ingeniería Eléctrica de la Universidad de São Paulo, actualmente cursa una maestría en Ingeniería Informática en la Universidad de Campinas, especializándose en temas de aprendizaje automático. Gabriel tiene una sólida formación en ingeniería de software y ha trabajado en proyectos que involucran visión por computadora, IA integrada y aplicaciones LLM.
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